Appendix A — Elementos matemáticos

A.1 Vectores

Un vector \(\x \in \R^n\) es un arreglo unidimensional de \(n\) elementos dado por \[ \x = \bm{x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n}, \] con \(x_i \in \R\). Es común representar a los vectores como vectores columna, por lo que en notación bidimensional se tendría \(\x \in \R^n\) = \(\x \in \R^{n \times 1}\); es decir, \(n\) filas y \(1\) sola columna. De manera alternativa, un vector se puede representar como la tupla ordenada \(\x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\).

Transpuesta de un Vector. La transpuesta del vector columna \(\x \in \R^{n \times 1}\) es el vector fila \(\x^T \in \R^{1 \times n}\) y se representa como \[ \x^T = \bm{x_1 & x_2 & \cdots & x_n}. \] Usando la transpuesta, a veces se denota al vector \(\x\) como \(\x=\bm{x_1 & x_2 & \cdots & x_n}^T\).

Vector Unitario. Un vector unitario, usualmente representado como \(\hat\x\), es aquel vector cuya norma Euclideana es unitaria: \(\Vert \x \Vert = 1\). Así, cumple la propiedad \(\hat\x ^T \hat \x = 1\). Dado un vector \(\x\) cualquiera, el vector unitario que indica la misma dirección se obtiene como \[ \hat \x = \frac{\x}{\Vert \x \Vert}. \]

Vector libre. Dados dos puntos \(\p_i, \p_j \in \R^3\), el vector libre \(\vv \in \R^3\) que conecta \(\p_i\) con \(\p_j\) se define como el segmento de línea dirigido que va de \(\p_i\) a \(\p_j\); es decir \[ \vv = \p_i - \p_j. \] A pesar de que puntos y vectores están representados por 3 elementos, son conceptualmente diferentes. Un vector tiene una dirección y una magnitud (norma). Además, un vector (libre) no se encuentra unido a ningún cuerpo rígido dado que pueden existir otros pares de puntos en este cuerpo, por ejemplo \(\p_k,\p_l\), que podrían ser conectados por el mismo vector \(\vv\); es decir, \(\p_k-\p_l = \p_i-\p_j\).

A.1.1 Operaciones con Vectores

Producto Escalar: El producto escalar o producto punto de \(\x,\y \in \R^n\), denotado como \(\x \cdot \y\) o \(\langle \x, \y \rangle\), es un número real definido como \[ \x \cdot \y = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1 +x_2y_2 + \cdots + x_n y_n. \] A partir de esta definición, el producto escalar es equivalente a \(\x^T\y\). Una propiedad importante del producto escalar es que es conmutativo: \[ \x \cdot \y = \y \cdot \x. \] Igualmente se tiene \(\x^T\y = \y^T\x\). De manera alternativa, utilizando la norma Euclideana, se puede definir producto escalar entre dos vectores como \[ \x \cdot \y = \Vert \x \Vert \Vert \y \Vert \cos \theta \] donde \(\theta\) es el ángulo entre el vector \(\x\) y el vector \(\y\). Se dice que dos vectores \(\x,\y\) son ortogonales si se encuentran a \(90^{\circ}\); es decir, si se cumple que \(\x \cdot \y = 0\).
Norma: La norma Euclideana, longitud o magnitud de un vector \(\x \in \R^n\) se representa como \(\Vert \x \Vert\) y se define como \[ \Vert \x \Vert = \sqrt{\x \cdot \x} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}. \] Notar que el cuadrado de la norma Euclideana es \(\Vert \x \Vert^2=\x \cdot \x = \x^T\x\). La norma Euclideana cumple con las siguientes desigualdades

Desigualdad de Cauchy-Schwarz: \(\vert \x \cdot \y \vert \leq \Vert \x \Vert \Vert \y \Vert\).
Desigualdad del triángulo: \(\Vert \x + \y \Vert \leq \Vert \x \Vert + \Vert \y \Vert\).

De manera general, se define la norma \(L_p\) de un vector \(\x \in \R^n\) como \[ \Vert \x \Vert_p = \left( \sum_{i=1}^n \vert x_i \vert^p \right)^{\frac{1}{p}}. \] La norma Euclideana es el caso particular cuando \(p=2\), y también se denomina norma \(L_2\). Por este motivo, cuando es necesario distinguir la norma Euclideana de otras normas se le representa como \(\Vert \x \Vert_2\). Otras normas usuales son la norma \(L_1\) y la norma \(L_{\infty}\) dadas, respectivamente, por \[ \Vert \x \Vert_1 = \sum_{i=1}^n\vert x_i \vert, \qquad \Vert \x \Vert_{\infty}= \max_i \vert x_i \vert \]

Producto Vectorial: El producto vectorial de dos vectores \(\x,\y\in\R^3\), también llamado producto cruz, se representa como \(\x \times \y\) o como \(\x \wedge \y\), y se define como \[ \x \times \y = \bm{x_2y_3-x_3y_2 \\ x_3y_1-x_1y_3 \\ x_1y_2-x_2y_1}. \] El vector resultante del producto vectorial siempre es perpendicular a los dos vectores \(\x\) y a \(\y\). La norma Euclideana del producto vectorial es \[ \Vert \x \times \y \Vert = \Vert \x \Vert \Vert \y \Vert \vert \sin\theta \vert, \] donde \(\theta\) es el ángulo entre \(\x,\y\). Algunas propiedades del producto vectorial son las siguientes.

\(\x \times \x = \vect 0\), donde \(\vect 0\) es un vector de ceros.
\(\x \times \y = -\y \times \x\)
\(\x \times (\y + \z) = \x \times \y + \x \times \z\)
\(\alpha(\x \times \y) = (\alpha \x)\times \y = \x \times (\alpha \y)\), donde \(\alpha \in \R\).

Producto Exterior: El producto exterior de dos vectores \(\x,\y\in\R^n\), denotado como \(\x\y^T\), es una matriz de tamaño \(n\times n\) definida por \[ \x \y^T = \bm{x_1 y_1 & x_1 y_2 & \cdots & x_1 y_n \\ x_2 y_1 & x_2 y_2 & \cdots & x_2 y_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n y_1 & x_n y_2 & \cdots & x_n y_n}. \] A partir de la expansión anterior, notar que si el vector \(\y\) es un vector con todos sus elementos iguales a \(1\), el producto exterior \(\x\y^T\) es equivalente a una matriz donde el vector \(\x\) se repite en cada columna. El producto escalar se puede obtener a partir del producto exterior como \[ \x \cdot \y = \tr(\x \y^T), \] donde \(\tr\) representa la traza de la matriz.
Triple Producto Escalar: El triple producto escalar entre 3 vectores \(\x,\y,\z \in \R^n\), también llamado producto mixto, se define como \(\x \cdot (\y \times \z)\) y cumple las siguientes igualdades \[ \x \cdot (\y \times \z) = \y \cdot (\z \times \x) = \z \cdot (\x \times \y). \] Notar que, alternativamente, el triple producto escalar se puede representar como \(\x^T(\y \times \z)\). Si cualesquiera dos vectores se repiten, entonces el triple producto escalar es nulo. Por ejemplo, se tiene \(\x \cdot (\x \times \y) = 0\).

A.1.2 Diferenciación de Vectores

Considérese que el vector \(\x(t)=\bm{x_1(t)&x_2(t) & \cdots & x_n(t)}^T\) es una función del tiempo. La diferenciación se aplica término a término. De esta manera, la derivada \(\dot\x\) del vector \(\x\) es el vector \[ \dx(t)=\bm{\dot x_1(t) & \dot x_2(t) & \cdots & \dot x_n(t)}^T. \] De manera similar, la integral \(\int \x(t) dt\) está dada por el vector \[ \int \x(t) dt = \bm{\int x_1(t) dt & \int x_2(t) dt & \cdots & \int x_n(t) dt}^T. \]

Derivada del Producto Escalar y Vectorial: Para derivar tanto el producto escalar como el producto vectorial, se debe utilizar la regla del producto. Así, la derivada del producto escalar es \[ \frac{d}{dt}\x\cdot \y = \frac{d\x}{dt} \cdot \y + \x \cdot \frac{d\y}{dt}, \] y la derivada del producto vectorial es \[ \frac{d}{dt}\x \times \y = \frac{d\x}{dt} \times \y + \x \times \frac{d\y}{dt}. \]
Gradiente: Dada una función escalar \(f(\x)\), cuyas derivadas parciales con respecto a los elementos \(x_i\) existen, la gradiente de la función \(f\) con respecto al vector \(\x\) es el vector columna \(\nabla_{\x}f(\x) \in \R^{n \times 1}\) dado por \[ \nabla_{\x}f(\x) = \bm{\frac{\partial f(\x)}{\partial x_1} & \frac{\partial f(\x)}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f(\x)}{\partial x_n}}^T. \] Si \(\x(t)\) es una función diferenciable con respecto a \(t\), entonces la derivada temporal de \(f\) es \[ \dot f(\x) = \nabla_x^T f(\x) \dot \x \]

A.1.3 Proyección de un vector

Conceptualmente, la proyección de un vector en dos ejes (un plano), en tres ejes (el espacio), o en más ejes sigue los mismos principios matemáticos y queda completamente descrita utilizando el producto punto.

Proyección en dos dimensiones: Considérese un vector bidimensional \(\vv \in \R^2\) y un sistema bidimensional de coordenadas con ejes unitarios \(\hat \x, \hat \y \in \R^2\), tales que \(\Vert \hat \x \Vert = \Vert \hat \y \Vert = 1\). Supóngase, además, que el ángulo entre el vector \(\vv\) y el eje \(\hat \x\) está dado por \(\alpha\), quedando el ángulo entre \(\vv\) y el eje \(\hat \y\) definido como \(1-\alpha\). La componente del vector \(\vv\) en el eje \(\hat \x\), representada como \(v_x\), y su componente en el eje \(\hat \y\), representada como \(v_y\), están dadas por las proyecciones de \(\vv\) en los mencionados ejes, y son \[ v_x=\vv \cdot \hat \x = \Vert \vv \Vert \cos (\alpha) \qquad \text{y} \qquad v_y=\vv \cdot \hat \y = \Vert \vv \Vert \cos (90^{\circ}-\alpha). \] Usando estas componentes, el vector \(\vv\) puede ser expresado en el sistema de coordenadas dado por \(\hat \x\), \(\hat \y\) como \[ \vv = (\vv \cdot \hat \x)\hat \x + (\vv \cdot \hat \y)\hat \y, \qquad \text{o} \qquad \vv = \bm{\vv \cdot \hat \x \\ \vv \cdot \hat \y}. \] Así, para representar un vector en un sistema de coordenadas, basta con realizar el producto punto de este vector con cada uno de los ejes coordenados unitarios.
Proyección en tres dimensiones: Si ahora se considera un vector tridimensional \(\vv \in \R^3\) y se tiene un sistema tridimensional con ejes unitarios \(\x,\y,\z\), la proyección de \(\vv\) en cada eje coordenado estará dada por el producto punto como \[ v_x=\vv \cdot \hat \x, \qquad v_y=\vv \cdot \hat\y, \qquad \text{y} \qquad v_z=\vv \cdot \hat \z. \] Al igual que en el caso anterior, las componentes permitirán que el vector se exprese en el sistema \(\hat\x, \hat\y, \hat\z\) de la siguiente manera: \[ \vv = (\vv \cdot \hat \x)\hat \x + (\vv \cdot \hat \y)\hat \y + (\vv \cdot \hat\z)\hat \z, \qquad \text{o} \qquad \vv = \bm{\vv \cdot \hat \x \\ \vv \cdot \hat \y \\ \vv \cdot \hat \z}. \] Esta forma de determinar las coordenadas asumen que los ejes son unitarios, ya que de otro modo habría que también tomar en cuenta sus módulos. La extensión a más dimensiones sigue la misma idea, ya que el producto punto se encuentra bien definido para más dimensiones (en \(\R^n\)).

A.2 Matrices

Una matriz \(A\in\R^{m \times n}\), de \(m\) filas y \(n\) columnas \((m \times n)\), es un arreglo rectangular que agrupa los coeficientes de una aplicación lineal. Una matriz \(A\) se representa como \[ A = \bm{a_{ij}} = \bm{ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} }, \] donde \(a_{ij} \in \R\) representa el elemento de la fila \(i\) y de la columna \(j\). Si \(n=m\), se dice que la matriz es cuadrada; de otro modo, es una matriz rectangular.

Representaciones Alternativas de una Matriz. Si se denota la columna \(j\) de la matriz \(A \in\R^{m \times n}\) como \(\a_j \in \R^m\), la matriz \(A\) se representa como \[ A = \bm{\a_1 & \a_2 & \cdots & \a_n}. \] Por otro lado, si se denota la fila \(i\) de esta matriz \(A\) como \(\a_i^T\), tal que \(\a_i \in \R^n\), la matriz \(A\) se representa como \[ A = \bm{\a_1^T \\ \a_2^T \\ \vdots \\ \a_m^T}. \] En esta última representación, es necesario el uso de la transpuesta dado que se asume que los vectores son vectores columna. El ver una matriz como una colección de columnas y de filas es muy importante ya que usualmente es matemáticamente y conceptualmente más conveniente operar a nivel de vectores que a nivel de escalares.

Transpuesta de una Matriz. La transpuesta de una matriz \(A \in \R^{m \times n}\) es una matriz \(A^T \in \R^{n \times m}\) tal que \[ A^T = \bm{ a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} }; \] es decir, la matriz \(A^T\) se obtiene intercambiando las filas por las columnas de la matriz \(A\). Algunas de las propiedades principales de la matriz transpuesta son las siguientes:

\((A^T)^T=A\)
\((A+B)^T=A^T+B^T\)
\((AB)^T=B^TA^T\), donde \(A\) y \(B\) tienen dimensiones adecuadas

A.2.1 Algunos Tipos de Matrices

A continuación se muestra algunos tipos especiales de matrices cuadradas comúnmente utilizadas en robótica.

Matriz triangular superior e inferior. Una matriz \(A \in \R^{n \times n}\) es triangular superior si \(a_{ij}=0\) para \(i>j\). Si \(a_{ij}=0\) para \(i<j\) se dice que es triangular inferior.
Matriz diagonal. Una matriz \(A \in \R^{n \times n}\) tal que \(a_{ij}=0\) cuando \(i \neq j\) es una matriz diagonal. Tal matriz se denota como \[ A = \text{diag}(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}). \] La matriz identidad \(I \in \R^{n \times n}\) (a veces denominada \(I_n\)) es una matriz diagonal con todos sus \(n\) elementos no nulos iguales a la unidad.
Matriz simétrica. Una matriz \(A \in \R^{n \times n}\) es simétrica si es igual a su transpuesta: \[ A = A^T \] o, equivalentemente, si \(a_{ij}=a_{ji},~\forall i,j\). Dada cualquier matriz \(A\), la matriz \(A+A^T\) es simétrica.
Matriz antisimétrica. Una matriz \(A \in \R^{n \times n}\) es antisimétrica (en inglés llamada skew-symmetric) si es igual al negativo de su transpuesta: \[ A = -A^T \] o, equivalentemente, si \(a_{ij}=-a_{ji},~\forall i,j\) con \(a_{ii}=0\). Dada cualquier matriz \(A\), la matriz \(A-A^T\) es antisimétrica.
Matriz ortogonal. Una matriz \(A \in \R^{n \times n}\) es ortogonal si: \[ AA^T = A^T A = I, \] donde \(I\) representa la matriz identidad. Usando esta definición se tiene que \(A^T = A^T(AA^{-1}) = (A^TA)A^{-1} = I A^{-1} = A^{-1}\), y por tanto la transpuesta de una matriz ortogonal es su inversa: \(A^{T}=A^{-1}\).

Algunas propiedades importantes de una matriz ortogonal \(A\) son que su determinante es \(\det(A)=\pm 1\), y que sus columnas forman vectores ortonormales (son unitarios y mutuamente ortogonales). Además, si \(A \in \R^{3 \times 3}\), sus valores propios son \(\lambda_1=1\), \(\lambda_{2,3}=e^{\pm i \theta}\), y el vector propio asociado con \(\lambda_1\) se interpreta como un eje de rotación.

Es posible expresar cualquier matriz cuadrada \(A \in \R^{n \times n}\) como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica: \[ A = \half (A+A^T) + \half(A-A^T), \] donde el primer sumando es simétrico y el segundo es antisimétrico.

A.2.2 Multiplicación de Matrices

El producto de dos matrices \(A \in \R^{m \times n}\) y \(B \in \R^{n \times p}\) es la matriz \(C=AB \in \R^{m \times p}\) cuyos términos \(c_{ij}\) están definidos como \[ c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}. \] Para que el producto de matrices exista, el número de columnas de \(A\) debe ser igual al número de filas de \(B\). A continuación se muestra una visión más compacta de este producto, que puede ser útil en algunos casos.

Producto Matriz-Vector: Considerar la matriz \(A \in \R^{m \times n}\) y el vector \(\x \in \R^n\). Su producto es un vector tal que \(\y = A\x \in \R^m\). Si se escribe la matriz \(A\) usando sus filas, el producto será \[ A \x = \bm{\a_1^T \\ \a_2^T \\ \vdots \\ \a_m^T}\x = \bm{\a_1^T \x \\ \a_2^T \x \\ \vdots \\ \a_m^T \x}; \] es decir, el elemento \(i\) del producto \(A\x\) es el producto interno de la fila \(i\) de la matriz \(A\) con el vector \(\x\). Por otro lado, si se escribe \(A\) usando sus columnas, se tiene \[ A\x = \bm{\a_1 & \a_2 & \cdots & \a_n} \bm{x_1 \\ \vdots \\ x_n} = \a_1 x_1 + \a_2 x_2 + \cdots + \a_n x_n; \] es decir, el resultado es la combinación lineal de las columnas de \(A\), siendo los elementos \(x_i\) de \(\x\) los coeficientes de la combinación.
Producto Matriz-Matriz: Si se representa la matriz \(A \in \R^{m \times n}\) usando sus filas \(a_i^T\), y la matriz \(B \in \R^{n \times p}\) usando sus columnas \(b_j\), el producto \(AB\) es \[ AB = \bm{\a_1^T \\ \a_2^T \\ \vdots \\ \a_m^T} \bm{\vect b_1 & \vect b_2 & \cdots & \vect b_p} = \bm{\a_1^T\vect b_1 & \a_1^T\vect b_2 & \cdots & \a_1^T\vect b_p \\ \a_2^T\vect b_1 & \a_2^T\vect b_2 & \cdots & \a_2^T\vect b_p \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \a_m^T\vect b_1 & \a_m^T\vect b_2 & \cdots & \a_m^T\vect b_p }. \] De manera alternativa, si se representa \(A\) usando sus columnas, y \(B\) usando sus filas, el producto será \[ AB = \bm{\a_1 & \a_2 & \cdots & \a_n} \bm{\vect b_1^T \\ \vect b_2^T \\ \vdots \\ \vect b_n^T} = \sum_{i=1}^n \a_i\vect b_i^T. \] Este resultado indica que \(AB\) es la suma de los productos externos de cada columna \(i\) de \(A\) con la respectiva fila \(i\) de \(B\).

Por otro lado, si solo se representa la matriz \(B\) usando sus columnas, el resultado del producto es \[ AB = A \bm{\vect b_1 & \vect b_2 & \cdots & \vect b_p} = \bm{A \vect b_1 & A \vect b_2 & \cdots & A \vect b_p}, \] donde se observa que la columna \(i\) del producto es el producto \(A\vect b_i\). Si ahora se representa la matriz \(A\) usando sus filas, se tiene \[ AB = \bm{\a_1^T \\ \a_2^T \\ \vdots \\ \a_m^T} B = \bm{\a_1^T B\\ \a_2^TB \\ \vdots \\ \a_m^TB}, \] donde la fila \(i\) del producto está dado por \(\a_i^TB\). Se puede verificar en todos los casos que los productos indicados tienen las dimensiones adecuadas.

Propiedades del Producto Matricial: Las siguientes son propiedades de la multiplicación de matrices:

Asociatividad: \((AB)C = A(BC)\)
Distributividad: \(A(B+C) = AB+AC\), y \((A+B)C=AC+BC\)
No conmutatividad: \(AB \neq BA\) (en general)

Es importante notar que, en general, \(AB=0\) no implica que \(A=0\) o que \(B=0\). De igual manera, \(AC=BC\), o \(CA=CB\), no implican, en general, que \(A=B\). Existen casos especiales; por ejemplo, si \(C\) es una matriz cuadrada e invertible, entonces la implicancia sí es válida.

A.2.3 Matrices Antisimétricas

Considérese el vector \(\a=[a_1 \ a_2 \ a_3]^T \in \mathbb{R}^3\). La matriz antisimétrica (skew-symmetric) asociada con este vector se denota como \(\hat\a\), \(\a^{\wedge}\), \(S(\a)\) o \([\a \times]\), cumple con la propiedad \(\hat\a^T=-\hat\a\), y se define término a término a partir de los elementos de \(\a\) como \[ \hat\a = \a^{\wedge} = \begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}. \] {eq-matriz-antisimetrica} Debido a su constitución, esta matriz se utiliza para representar el producto cruz de dos vectores como una multiplicación de una matriz por un vector, es decir: \[ \a \times \vect b = \hat\a \vect b \tag{A.1}\] donde \(\vect b=[b_1 \ b_2 \ b_3]^T \in \mathbb{R}^3\). Esta equivalencia se puede demostrar realizando las operaciones término a término, obteniéndose: \[ \bm{a_1 \\ a_2 \\ a_3} \times \bm{b_1 \\ b_2 \\ b_3} = \bm{0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0}\bm{b_1\\b_2\\b_3} = \bm{a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1}. \] La principal ventaja de expresar el producto vectorial como el producto de una matriz antisimétrica con un vector consiste en que al tener un producto matricial se puede aplicar el álgebra lineal de matrices, dejando de lado el álgebra del producto vectorial. Por ejemplo, la velocidad lineal \(\vv\) se puede expresar en función de la velocidad angular \(\bomega\) y la posición de un punto \(\p\) a través de \(\vv = \bomega \times \p\), lo cual es igual a \(\vv = \hat\bomega \p\) utilizando la matriz antisimétrica que acaba de ser definida.

Propiedades de Matrices Antisimétricas: Las siguientes son algunas propiedades útiles de la matriz antisimétrica.

Dada la matriz de rotación \(\Rot\) y el vector \(\a\), se tiene la siguiente propiedad importante: \[ \Rot \hat\a \Rot^T = (\Rot \a)^{\wedge}. \tag{A.2}\] Esta propiedad se puede probar por desarrollo directo de cada término.
Potencias de una matriz antisimétrica: Dada la matriz antisimétrica \(\hat{\a}\), su segunda y tercera potencia son: \[ \begin{align*} \hat{\a}^2 &=\a \a^T - \Vert \a \Vert^2 I\\ \hat{\a}^3 &=-\Vert \a \Vert^2 \hat{\a} \end{align*} \] las cuales pueden ser verificadas por expansión de términos. Utilizando estas dos potencias, y reemplazando, las potencias de mayor orden pueden ser expresadas en función de \(\hat{\a}\) y \(\hat{\a}^2\) como: \[ \begin{align*} \hat{\a}^4 &= -\Vert \a \Vert^2 \hat{\a}^2, \qquad \qquad \hat{\a}^7=-\Vert \a \Vert^6 \hat{\a} \\ \hat{\a}^5&=\Vert \a \Vert^4 \hat{\a}, \qquad \qquad \quad ~ \hat{\a}^8=-\Vert \a \Vert^6 \hat{\a}^2 \\ \hat{\a}^6&=\Vert \a \Vert^4 \hat{\a}^2, \qquad \qquad \quad \hat{\a}^9=\Vert \a \Vert^8 \hat{\a}. \end{align*} \] Siguiendo la misma idea, y reemplazando, es posible obtener expresiones para términos de aún mayor orden.

A.2.4 Operaciones con Matrices

Traza de una matriz: La traza de una matriz cuadrada \(A \in \R^{n \times n}\), representada como \(\tr(A)\), es la suma de los coeficientes de la diagonal de \(A\): \[ \tr(A) = \sum_{i=1}^na_{ii} \] Las propiedades más importantes de la traza son:

\(\tr(A)=\tr(A^T)\)
\(\tr(A+B)=\tr(A)+\tr(B)\)
\(\tr(\lambda A) = \lambda~ \tr(A)\), \(\forall \lambda \in \R\)
\(\tr(AB) = \tr(BA)\)
\(\tr(ABC) = \tr(CAB) = \tr(BCA)\)

Determinante de una matriz: El determinante de una matriz \(A \in \R^{n \times n}\), denotado como \(|A|\) o como \(\det(A)\), es el escalar definido (recursivamente) por \[ \det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij}(-1)^{i+j}\det(A_{i^-j^-}), \] para cualquier fila \(i \in \{1,\cdots,n\}\), donde \(A_{i^-j^-} \in \R^{(n-1) \times (n-1)}\) es la matriz que resulta de eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\) de la matriz \(A\). Equivalentemente, se puede definir el determinante como \[ \det(A) = \sum_{i=1}^n a_{ij}(-1)^{i+j}\det(A_{i^-j^-}), \] para cualquier columna \(j \in \{1,\cdots,n\}\) de \(A\). El caso inicial se define como \(\det(A)=a_{11}\) para \(A\in \R^{1 \times 1}\).

Considerando una matriz \(A \in \R^{n \times n}\), algunas propiedades importantes del determinante son:

\(\det(A) = \det(A^T)\)
\(\det(\alpha A) = \alpha^n \det(A)\), con \(\alpha \in \R\)
\(\det(AB) = \det(A)\det(B)\), si \(A,B \in \R^{n \times n}\)
\(\det(A)=0\) si y solo si \(A\) es singular (no invertible).
Si \(A\) es no singular (invertible), entonces \(\det(A^{-1})=1/\det(A)\)
Si \(A\) es triangular (o diagonal), entonces \(\det(A) = \prod_{i=1}^n a_{ii}\).

Norma de una Matriz: La norma más utilizada para las matrices es la norma de Frobenius, definida como \[ \Vert A \Vert = \sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_{ij}^2} = \sqrt{\tr(A^TA)}. \]
Inversa de una Matriz: La inversa de una matriz cuadrada \(A \in \R^{n \times n}\), denotada \(A^{-1}\), se define como la única matriz que satisface \[ AA^{-1} = A^{-1}A = I. \] La inversa \(A^{-1}\) se puede calcular como \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\text{Adj}(A), \] donde \(\text{Adj}(A)\) representa la adjunta de la matriz \(A\) (la transpuesta de la matriz de cofactores) y, a su vez, se define como \[ \text{Adj}(A) = [((-1)^{i+j} \det(A_{i^-j^-})]^T. \] Numéricamente, esta forma de cálculo, via la adjunta y el determinante, es poco eficaz y no es utilizada en la práctica. Se dice que la matriz \(A\) es invertible o no singular si existe su inversa; de otro modo, se dice que es no invertible o singular. Una matriz cuadrada \(A\) es invertible cuando es de rango completo, lo cual implica que su determinante es diferente de cero.

Las propiedades de la inversa son:

\((A^{-1})^{-1} = A\)
\((A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\), y es usualmente denotada como \(A^{-T}\)
\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
Si \(A\) y \(C\) son invertibles: \((A+BCD)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B(DA^{-1}B+C^{-1})^{-1}DA^{-1}\), donde se requiere que \(DA^{-1}B+C^{-1}\) sea invertible.

Exponencial de una matriz: La exponencial de una matriz cuadrada \(A^{n \times n}\) está definida como \[ e^A = \sum_{n=0}^{n = \infty} \frac{A^n}{n!} = 1 + A + \frac{A^2}{2!} + \cdots + \frac{A^n}{n!} \] La exponencial siempre es una matriz inversible, y se tiene la relación \(e^A e^{-A} = e^0 = I\).

A.2.5 Independencia Lineal y Rango

Combinación Lineal: Una combinación lineal de \(n\) vectores \(\x_1, \x_2, \cdots, \x_n\ \in \R^m\) se define como el vector \(\vect v \in \R^m\) tal que \[ \vect v = \alpha_1 \x_1 + \alpha_2 \x_2 + \cdots + \alpha_n \x_n = \sum_{i=1}^n \alpha_i \x_i, \] con \(\alpha_i \in \R\) para \(i=1,\cdots,n\).
Dependencia Lineal: Un conjunto de vectores \(\{ \x_1, \x_2, \cdots, \x_n\} \in \R^m\) son linealmente dependientes si un vector del conjunto puede ser representado como una combinación lineal de los vectores restantes. Es decir, si \[ \x_n = \sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i \x_i \] para algún conjunto de escalares \(\alpha_1,\cdots,\alpha_{n-1}\in \R\).
Independencia Lineal: Un conjunto de vectores \(\{ \x_1, \x_2, \cdots, \x_n\} \in \R^m\) se dice linealmente independiente si ninguno de estos vectores \(\x_i\) puede ser representado como una combinación lineal de los vectores restantes. Dicho de otro modo, el conjunto de vectores es linealmente independiente si se cumple que \[ \sum_{i=1}^n \alpha_i \x_i =0 \] implica \(\alpha_i=0\), para todo \(i\).
Base: Una base de un espacio vectorial \(\mathcal X\) es un conjunto de vectores \(\e_i\) linealmente independientes, de tal modo que cada vector \(\x \in \mathcal X\) puede ser escrito como una combinación lineal \[ \x = x_1 \e_1 + x_2 \e_2 + \cdots + x_n \e_n. \] La representación \(\x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) se encuentra determinada de manera única por la base \((\e_1,\cdots\e_n)\). La dimensión del espacio vectorial \(\mathcal X\) es el número de vectores base.
Rango: El rango columna de una matriz \(A \in \R^{m \times n}\) es el tamaño del más grande subconjunto de columnas de \(A\) que constituye un conjunto linealmente independiente. De manera simplificada se dice que es el número de columnas linealmente independientes de \(A\). Igualmente, el rango fila de una matriz \(A\) es el número más grande de rilas de \(A\) que constituye un conjunto linealmente independiente.

Para cualquier matriz \(A\), el rango columna de \(A\) es igual al rango fila de \(A\), y ambas cantidades son colectivamente llamadas simplemente el rango de \(A\) y se representa como \(\text{rang}(A)\) o \(\rho(A)\). Así, el rango de una matriz \(A\) es el número más grande de filas (o columnas) linealmente independientes de \(A\).

Considerando la matriz \(A \in \R^{m \times n}\), se tiene las siguientes propiedades básicas del rango:

\(\rho(A) \leq \min\{m,n\}\). Si \(\rho(A)=\min\{m,n\}\), se dice que \(A\) es de rango completo.
\(\rho(A) = \rho(A^T)\)
\(\rho(A^TA) = \rho(A)\)
Si \(B \in \R^{n \times p}\), entonces \(\rho(AB) \leq \min\{\rho(A), \rho(B)\}\)
Si \(B \in \R^{m \times n}\), entonces \(\rho(A+B) \leq \rho(A) + \rho(B)\)

Una condición necesaria y suficiente para que el conjunto de \(n\) vectores \(\x_i \in \R^m\) descritos anteriormente sea linealmente independiente es que la matriz \(A\) que contiene a estos vectores como columnas: \[ A = \bm{\x_1 & \x_2 & \cdots & \x_n} \] tenga rango \(n\); es decir, \(\rho(A)=n\). Esto implica que una condición necesaria para la independencia lineal es que \(n \leq m\). Si, por el contrario, \(\rho(A)=r\), y \(r<n\), entonces solo \(r\) vectores son linealmente independientes, y los \(n-r\) vectores restantes pueden ser expresados como combinación lineal de estos vectores independientes.

A.2.6 Diferenciación de Matrices

Derivada Temporal: La derivada de una matriz \(A(t) \in \R^{m \times n}\) variante con tel tiempo está dada por la derivada de cada uno de sus términos; es decir, \[ \dot A(t) = \bm{ \dot a_{11}(t) & \dot a_{12}(t) & \cdots & \dot a_{1n}(t) \\ \dot a_{21}(t) & \dot a_{22}(t) & \cdots & \dot a_{2n}(t) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dot a_{m1}(t) & \dot a_{m2}(t) & \cdots & \dot a_{mn}(t) }. \] Si \(A\) es una matriz cuyas componentes son funciones de \(\q(t)=(q_1(t),\cdots,q_k(t))\), la derivada temporal de \(A\), usando la regla de la cadena, es \[ \dot A = \frac{\partial A}{\partial \q}\frac{d\q}{dt} = \sum_{i=1}^k \frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{dq_i}{dt} = \frac{\partial A}{\partial q_1}\frac{dq_1}{dt} + \cdots + \frac{\partial A}{\partial q_k}\frac{dq_k}{dt}, \] donde \(\dot A \in \R^{m \times n \times k}\).
Derivada de la Inversa: Si \(A(t) \in \R^{n \times n}\) es invertible, con \(\rho(A)=n\) para todo \(t\), y \(a_{ij}(t)\) son funciones diferenciales, la derivada de la inversa de \(A(t)\) es \[ \dot A^{-1}(t) = -A^{-1}(t) \dot A (t) A^{-1}(t). \]
Jacobiano: Dada una función vectorial \(\g(\x) \in \R^{m \times 1}\) cuyos elementos \(g_i\) son diferenciables con respecto al vector \(\x \in \R^{n \times 1}\), la matriz Jacobiana, también llamada simplemente el Jacobiano, de la función se define como \(J(\x) \in \R^{m \times n}\) tal que \[ J(\x) = \frac{\partial \g(\x)}{\partial \x} = \bm{\frac{\partial g_1(\x)}{\partial \x} \\ \frac{\partial g_2(\x)}{\partial \x} \\ \vdots \\ \frac{\partial g_m(\x)}{\partial \x}}. \] Si \(\x(t)\) es una función diferenciable con respecto a \(t\), se utiliza la regla de la cadena para obtener \[ \dot \g(\x) = \frac{\partial \g}{\partial \x}\dot\x = J(\x) \dot \x. \]

A.2.7 Pseudoinversa de Moore-Penrose

La pseudoinversa, también llamada inversa generalizada, generaliza la noción de inversa de una matriz para casos en los que la matriz no es inversible. En general, existen diversas inversas generalizadas, y no hay unicidad de esta inversa generalizada.

Para una matriz con coeficientes reales o complejos no necesariamente cuadrada, existe una única pseudoinversa que satisface ciertas condiciones suplementales denominada pseudoinversa de Moore-Penrose. Puede ser calculada de diferentes maneras.

Si \(A \in \R^{m \times n}\) con \(n>m\) y si \(\rho(A)=m\) (el rango es el número de filas; es decir, es una matriz de rango completo por filas): \[ A^{\#}=A^T (AA^T)^{-1} \] tal que \(A^{\#}A = I \in \R^{n \times n}\).
Si \(A \in \R^{m \times n}\) con \(m>n\) y si \(\rho(A)=n\) (el rango es el número de columnas; es decir, es una matriz de rango completo por columnas): \[ A^{\#}= (A^TA)^{-1}A^T \] tal que \(AA^{\#} = I \in \R^{m \times m}\).

La pseudoinversa brinda una solución aproximada a un sistema lineal en el sentido de mínimos cuadrados. Así, las soluciones a un sistema de ecuaciones lineales \[ Ax=b \] obtenidos por la pseudoinversa son tales que:

Si \(m>n\), la solución aproximada \(x=A^{\#}b\) es tal que minimiza \(\Vert x - A^{\#}b \Vert^2\)
Si \(n>m\), la solución \(x=A^{\#}b\) es tal que minimiza \(\Vert x \Vert^2\)

La pseudoinversa tiene la propiedad que para un vector arbitrario \(z\) se tiene \[ A (I-A^{\#}A)z = 0 \] y \((I-A^{\#}A)\) proyecta el vector arbitrario \(z\in\R^{n}\) al espacio nulo de \(A\), representado como \(N(A)\).

A.3 Otros Conceptos Matemáticos

A.3.1 Función atan2

La función \(\atan2\) es una función arcotangente (\(\arctan\)), también llamada tangente inverso (\(\tan^{-1}\)), pero a diferencia de la función tradicional que solamente retorna ángulos en el primer y tercer cuadrante (correspondientes a \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)), la función \(\atan2\) brinda ángulos en los cuatro cuadrantes. Para determinar el cuadrante de salida, la función toma dos argumentos de entrada y utiliza sus signos. De manera concreta, esta función se define como \[ \atan2(y,x) = \begin{cases} \arctan\left(\frac{y}{x}\right), \qquad \quad ~x > 0\\ \phi + \arctan\left(\frac{y}{x}\right), \quad ~~y \geq 0, x <0 \\ -\phi + \arctan\left(\frac{y}{x}\right), \quad y <0, x<0\\ \frac{\pi}{2}, \qquad \qquad \qquad \quad ~~y>0,x=0 \\ -\frac{\pi}{2}, \qquad \qquad \qquad ~~~y<0,x=0 \\ \text{indefinido}, \qquad \qquad ~y=0,x=0 \end{cases} \] El rango de la función es el intervalo \([-\pi,\pi]\), cubriendo así los cuatro cuadrantes, y como se observa, se encuentra indefinida solamente para el valor \((0,0)\). Esta función se encuentra disponible en la mayoría de lenguajes de programación, así que usualmente codificarla a mano no es necesario.

Nótese que, si se tiene \(\theta=\atan2(y,x)\), los argumentos a esta función son \(y=\sen(\theta)\) y \(x=\cos(\theta)\), ya que \(\tan(\theta)=\frac{\sen(\theta)}{\cos(\theta)}\). Esta interpretación resulta útil en robótica al momento de obtener expresiones para su cálculo, por ejemplo al obtener ángulos de Euler a partir de matrices de rotación, o al determinar expresiones para la cinemática inversa de un robot manipulador.

A.3.2 Grupo Matemático

En matemática, un grupo es un conjunto \(G\) junto a una operación binaria \(\circ\) definida para los elementos de \(G\) de tal modo que se satisfacen las siguientes cuatro propiedades:

Clausura: Si \(g_1,g_2 \in G ~ \Rightarrow ~ g_1 \circ g_2 \in G\).
Elemento identidad \(e\): dado cualquier \(g \in G\), existe \(e\) tal que \(g \circ e = e \circ g = g\).
Inversa: para cada \(g \in G\), existe un único elemento inverso \(g^{-1} \in G\) tal que \(g \circ g^{-1} = g^{-1} \circ g = e\).
Asociatividad: Si \(g_1,g_2,g_3 \in G ~ \Rightarrow ~ (g_1 \circ g_2) \circ g_3 = g_1 \circ (g_2 \circ g_3)\).