Appendix B — Cuaterniones

\[ \newcommand{\vect}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{\x}{\vect{x}} \newcommand{\y}{\vect{y}} \newcommand{\z}{\vect{z}} \newcommand{\e}{\vect{e}} \newcommand{\f}{\vect{f}} \newcommand{\g}{\vect{g}} \newcommand{\G}{\vect{G}} \newcommand{\h}{\vect{h}} \newcommand{\J}{\vect{J}} \newcommand{\n}{\vect{n}} \newcommand{\p}{\vect{p}} \newcommand{\q}{\vect{q}} \newcommand{\s}{\vect{s}} \newcommand{\w}{\vect{w}} \newcommand{\m}{\vect{m}} \renewcommand{\a}{\vect{a}} \renewcommand{\b}{\vect{b}} \renewcommand{\c}{\vect{c}} \renewcommand{\d}{\vect{d}} \renewcommand{\r}{\vect{r}} \renewcommand{\u}{\vect{u}} \renewcommand{\v}{\vect{v}} % Problems? \newcommand{\vv}{\vect{v}} \newcommand{\rr}{\vect{r}} \newcommand{\bv}{\vect{v}} \] \[ \newcommand{\vi}{\vect{i}} \newcommand{\vj}{\vect{j}} \newcommand{\vk}{\vect{k}} \] \[ \newcommand{\bomega}{\vect{\omega}} \newcommand{\bphi}{\vect{\phi}} \newcommand{\bepsilon}{\vect{\epsilon}} \newcommand{\btheta}{\vect{\theta}} \newcommand{\btau}{\vect{\tau}} \newcommand{\bmu}{\vect{\mu}} \newcommand{\bvarphi}{\vect{\varphi}} \newcommand{\bxi}{\vect{\xi}} \] \[ \newcommand{\zeros}{\vect{0}} \] \[ \newcommand{\dq}{\dot {\vect{q}}} \newcommand{\ddq}{\ddot {\vect{q}}} \newcommand{\dx}{\dot {\vect{x}}} \newcommand{\ddx}{\ddot {\vect{x}}} \] \[ \newcommand{\Ja}{{J_{_{\!A}}}} \]

\[ \newcommand{\half}{\frac{1}{2}} \newcommand{\quarter}{\frac{1}{4}} \]

\[ \newcommand{\bm}[1]{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}} \newcommand{\mat}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{\Rot}{\mat{R}} \newcommand{\Tran}{\mat{T}} \newcommand{\tr}{\text{tr}} % For trace \]

\[ \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\dt}{\Delta t} \] \[ \renewcommand{\frame}[1]{\{\mathcal{#1}\}} \newcommand{\framen}[1]{\{{#1}\}} \newcommand{\supFrame}[1]{~\!{^{\mathcal{^{_{#1}}\!}}}} \newcommand{\ssr}[2]{{{~\!}^{^{_{\mathcal{#1}}}\!\!}}{\Rot}_{_{\mathcal{#2}}}} \newcommand{\ssrnocal}[2]{{{~\!}^{^{_{#1}}\!\!}}{\Rot}_{_{#2}}} \newcommand{\ssomega}[2]{{^{#1}}{\bomega}_{#2}} \newcommand{\ssv}[3]{{^{^{_{#1}}\!}}{#2}_{_{\!#3}}} \newcommand{\sv}[2]{{^{^{_{#1}}\!}}{#2}} \newcommand{\ssdr}[2]{{^{^{_{#1}}\!\!}}{\dot \Rot}_{_{#2}}} \newcommand{\sst}[2]{{{~\!}^{^{_{\mathcal{#1}}}\!\!}}{\Tran}_{_{\mathcal{#2}}}} \newcommand{\sstnocal}[2]{{^{^{_{#1}}}}{\Tran}_{_{#2}}} \]

\[ \newcommand{\atan}{\text{atan}} \newcommand{\sen}{\text{sen}} \newcommand{\sgn}{\text{sgn}} \newcommand{\fpartial}[2]{\frac{\partial {#1}}{\partial {#2}}} \newcommand{\grad}{^{\circ}} \]

Los cuaterniones, introducidos por Hamilton, generalizan la idea de los números complejos y pueden ser utilizados para representar rotaciones en cuatro dimensiones (siendo tres dimensiones un caso especial), al igual que los números complejos pueden ser utilizados para representar rotaciones planas en un círculo unitario. Así como los números complejos permiten operaciones con vectores bidimensionales, los cuaterniones permiten multiplicar y dividir vectores en cuatro dimensiones; y así como una multiplicación compleja implementa una rotación en el plano, la multiplicación de cuaterniones implementa una rotación en el espacio de cuatro dimensiones. A diferencia de los ángulos de Euler, los cuaterniones dan una parameterización global de \(SO(3)\) al precio de usar cuatro números para representar la rotación.

B.1 Definición de un Cuaternión

Un cuaternión es una tupla que contiene 4 elementos reales \((w,\epsilon_x,\epsilon_y,\epsilon_z)\) con operaciones de adición y multiplicación, y se representa como \[ Q = w+\epsilon_x \vi + \epsilon_y \vj + \epsilon_z\vk \] con \(\epsilon_x,\epsilon_y,\epsilon_z,w \in \R\). El elemento \(w\) es el componente escalar de \(Q\) y \(\bepsilon=(\epsilon_x,\epsilon_y,\epsilon_z)\) es el componente vectorial. Equivalentemente, se puede representar como \[ Q = (w,\bepsilon) \] con \(w \in \R\) y \(\bepsilon \in \R^3\).

Notar que la notación dada en la definición para representar cuaterniones no es estándar: también se puede representar el cuaternión en el sentido inverso \(Q=(\bepsilon,w)\) siempre que esté claro cuál es la parte vectorial y cuál la parte escalar. A veces la parte escalar es también denominada \(\eta\) y la parte vectorial simplemente \((x,y,z)\).

El conjunto de cuaterniones \(\mathbb Q\) es un espacio vectorial de cuatro dimensiones sobre el campo de los reales y forma un grupo con respecto a la multiplicación de cuaterniones que se denota por \(\circ\). La multiplicación de cuaterniones es distributiva y asociativa pero no conmutativa, y satisface las siguientes relaciones, que son conocidas como las ecuaciones fundamentales de los cuaterniones:

• \(\vi \circ \vi = \vj \circ \vj = \vk \circ \vk = \vi \circ \vj \circ \vk = -1\).
• \(\vi \circ \vj =\vk\), \(~~\vj \circ \vk = \vi\), \(~~\vk \circ \vi = \vj\).
• \(\vj \circ \vi =-\vk\), \(~~\vk \circ \vj = -\vi\), \(~~\vi \circ \vk = -\vj\).

B.2 Operaciones con cuaterniones

Para describir las operaciones con cuaterniones se consierará los siguientes cuaterniones: \(Q=(w,\bepsilon), Q_1=(w_1,\bepsilon_1), Q_2=(w_2,\bepsilon_2) \in \mathbb Q\).

• Suma. La suma de dos cuaterniones \(Q_1\) y \(Q_2\) es semejante a una suma vectorial: \[ Q_1 + Q_2 = (w_1+w_2,~\bepsilon_1+\bepsilon_2). \]

• Producto escalar. El producto de un escalar \(\lambda \in \R\) y un cuaternión \(Q\) es: \[ \lambda Q = (\lambda w,~\lambda \bepsilon). \]

• Producto. El producto de un cuaternión \(Q_1\) con un cuaternión \(Q_2\) está dado por: \[ Q_1 \circ Q_2 = (w_1w_2-\bepsilon_1^T\bepsilon_2,~w_1\bepsilon_2+w_2\bepsilon_1+\bepsilon_1 \times \bepsilon_2), \] que se puede demostrar algebraicamente realizando el producto término a término, utilizando las relaciones de \(\vi,\vj,\vk\) y simplificando. En la mayoría de casos esta expresión elimina el uso directo de las relaciones de multiplicación de \(\vi,\vj,\vk\). En forma matricial, dado el cuaternión \(Q\) se puede definir la matriz \(\hat Q\) siguiente: \[ \hat Q = \bm{ w & -\epsilon_x & -\epsilon_y & -\epsilon_z \\ \epsilon_x & w & -\epsilon_z & \epsilon_y \\ \epsilon_y & \epsilon_z & w & -\epsilon_x \\ \epsilon_z & -\epsilon_y & \epsilon_x & w } = \bm{ w & -\bepsilon^T \\ \bepsilon & wI+\hat\bepsilon } \] donde \(\hat \bepsilon\) es la matriz antisimétrica obtenida a partir de \(\bepsilon\). Notar que \(\hat Q\) es una matriz ortonormal y define una rotación en el espacio Euclideano de dimensión 4. Así la multiplicación de cuaterniones es equivalente al producto matricial: \[ Q \circ Q_1 = \hat Q Q_1. \] Notar que es posible también definir matrices para multiplicación por la derecha.

• Conjugada. La conjugada de un cuaternión \(Q\) se define de manera análoga a la conjugada de un número complejo y está dada por: \[ Q^* = (w,-\bepsilon). \] Usando la definición del producto, se puede demostrar que: \((Q_1 \circ Q_2)^*=Q_2^* \circ Q_1^*\). Además, se tiene que \((Q_1+Q_2)^*=Q_1^*+Q_2^*\), y \((Q^*)^*=Q\).

• Norma. La norma o magnitud de un cuaternión \(Q\) es un mapa \(\Vert . \Vert: \mathbb Q \rightarrow \R\) y se define como: \[ \Vert Q \Vert ^2 = Q \circ Q^* = w^2 + \epsilon_x^2 + \epsilon_y^2 + \epsilon_z^2. \] Algunas propiedades de la norma son: \(\Vert Q_1 \circ Q_2\Vert = \Vert Q_1 \Vert \Vert Q_2 \Vert\), y \(\Vert Q \Vert = \Vert Q^* \Vert\).

• Inversa. Dividiendo la definición de norma o magnitud por \(\Vert Q \Vert^2\) se tiene \(\frac{Q \circ Q^*}{\Vert Q \Vert^2}=Q \circ \frac{Q^*}{\Vert Q \Vert^2}=1\) de donde se observa que la inversa de un cuaternión \(Q\) es: \[ Q^{-1} = \frac{Q^*}{\Vert Q \Vert^2} \] siempre que \(Q \neq \boldsymbol 0\) (\(\boldsymbol 0\) es el cuaternión con todos los elementos cero). Además, se puede mostrar que \((Q_1\circ Q_2)^{-1}=Q_2^{-1} \circ Q_1^{-1}\).

• Producto interno. El producto interno entre cuaterniones \(\cdot: \mathbb Q \times \mathbb Q \rightarrow \R\) se define como \[ Q_1 \cdot Q_2 = (w_1 w_2,~ \bepsilon_1^T \bepsilon_2). \] Usando esta definición se puede expresar la norma como \(\Vert Q \Vert^2 = Q \cdot Q\). Así, la norma de cuaterniones es una norma \(L_2\) en el usual sentido vectorial.

Adicionalmente, se tiene que el elemento identidad para la multiplicación de cuaterniones es \(Q=(1,\boldsymbol 0)\). Se puede demostrar fácilmente que la suma es asociativa y conmutativa, y que la multiplicación es asociativa pero no conmutativa.

Resulta natural ver a los escalares, vectores tridimensionales y números complejos como una especialización de los cuaterniones, dado que las operaciones de adición y multiplicación resultan ser las operaciones familiares para estos casos. Por ejemplo, el producto de dos vectores \(\bepsilon_1\), \(\bepsilon_2\) daría como resultado el producto escalar \(-\bepsilon_1^T\bepsilon_2\) y el producto vectorial \(\bepsilon_1 \times \bepsilon_2\). Con las operaciones vistas anteriormente, incluyendo la inversa, se puede observar que los cuaterniones forman un álgebra lineal y un campo. Así, son la única extensión de los números complejos que son a la vez un algebra lineal y un campo.